フォン・ノイマンについて（4） 量子力学への貢献

　1925年9月にドイツの物理学者ハイゼンベルク（Werner Heisenberg）、ボルン（Max Born）、ジョルダン（Pascual Jordan）の3人は、行列力学を用いて電子などの振る舞いを統一的に説明できる新しい数学的枠組みを完成させて、「量子力学」と名づけた。しかし彼らの斬新な発想に物理学者たちは皆納得したわけではなく、賛同した人もいたが新しい考え方に反発した人も多かった。

　オーストリアの物理学者シュレーディンガー（Erwin Schrödinger）もハイゼンベルクらの考えに反発した一人だった。シュレーディンガーは、フランスの物理学者ド・ブロイが1924年に発見した物質波という議論を使って、行列力学を使わなくても波動方程式で電子などの振る舞いを説明できると考えた。やがてシュレーディンガーが作った波動方程式も実験と合うことがわかり、量子力学は波動方程式を重んじる人々と行列力学を重んじる人々に分かれることになった。

　しかし、当時20歳そこそこだったフォン・ノイマンは、両者を見て実験結果に合うなら両方とも数学的に同じことを言っているはず、つまりヒルベルト空間内でのベクトル幾何学は、量子力学的状態と同じ数学形式をもつはずだという直感を持っていた[1]。彼はヒルベルト空間を用いて量子力学の数学的根拠を発展させ。1932年に『量子力学の数学的基礎』として出版した。彼はそこで量子状態をヒルベルト空間の状態ベクトルとみなし、シュレーディンガーとハイゼンベルクによる二つの一見相反しているように見える量子力学の定式化の橋渡しをした[2]。

　彼の基本的な知見は、「（3）数学への貢献」で述べたように、ヒルベルト空間のベクトル幾何学が量子力学のシステム状態の構造と同じ形式の特性を持っているということである。そうなると、量子物理学者の研究と作用素を用いる数学者の研究との違いは、用いる言語と強調する場所の違いだけになる[3]。これは量子力学がさらに発展するための数学的基礎となった。

　また彼は量子力学の確率論的な振る舞いの裏にある実在を主張する決定論的な「隠れた変数」を否定し、量子力学の確率論的な振る舞い（非決定論）を多くの人に確信させた[2]。ただし、量子力学はまだ全てが決着したわけではないようである。

（つづく）

[1]ノーマン・マクレイ、渡辺正、芦田みどり訳（1998）「フォン・ノイマンの生涯」、朝日選書

 [2] John von Neumann, Britannica Online Encyclopedia, https://www.britannica.com/biography/John-von-Neumann
[3] P. R. Halmos, (1973) The Legend of John Von Neumann, The American Mathematical Monthly, 80, 4, 382-394.

フォン・ノイマンについて（3） 数学への貢献

　高校当時、フォン・ノイマンにとっての本来の興味は数学にあった。しかし、第一次世界大戦後のヨーロッパでは、数学で職を得るのは極めて困難だった。そのためフォン・ノイマンは1921年から2年間ベルリン大学で化学を学んだ後、スイス工科大学の応用化学科に進んだ。ハーバー・ボッシュ法による窒素固定法の発明など、当時の応用化学は最先端の実用的学問だった。しかし、彼本来の目的のためにブタペスト大学の数学科にも入学した。

　ゲッチンゲン大学の教授で、現代数学の父とも呼ばれる数学者ヒルベルト（David Hilbert）は、1920年代にカントルの集合論を含めた現代数学をまるごと公理化し直し、もっと厳密なものにしようとしていた。しかし、集合論の一部は厳密な公理からはまだ遠かった。フォン・ノイマンはスイス工科大学で応用化学を修得した後、本来の目的に戻り、ブダペスト大学でカントルの集合論の公理化を博士論文のテーマにした。1926年に23歳で博士の学位を得て、ゲッチンゲン大学のヒルベルトの下で1927年まで研究した。彼はヒルベルト空間の研究を続けて、ヒルベルト空間を初めてきちんと公理的に取り扱うことに成功した[1]。これによってヒルベルト空間は新たな数学的な道具として利用できるようになり、またこれは彼が量子力学の数学的な基礎付けに貢献することにもつながった。

　1930年からはアメリカのプリンストン大学の講師となり、翌年からは教授となったが、あまりの若さに彼はしょっちゅう学生と間違われたという。彼の講義は、黒板に次々に数式を書いては学生が書き写す前に消してしまうので、講義について行くのが大変なことで有名だった。しかし、学生からの問いに対しては、彼らしくどんな複雑な問題でも単純化してわかるようにした上で答えたという[2]。彼の考察の明解さは、他の誰と比べても桁外れだった。
　
　1931年に、B. O.コープマン（B. O. Koopman）はエルゴード仮説についての正確な記述が公式化でき得る状況（context）の一つは、ヒルベルト空間上の作用素理論（theory of operators）であるという考えを発表した。これは、まさしくフォン・ノイマンが初期の量子力学を明確にするためにいくつかの画期的な論文を書いたテーマだった。コープマンの論文の出版のすぐ後、フォン・ノイマンは、現在ユニタリ作用素（unitary operators）のための平均エルゴード定理として知られているものを体系化して証明した[3]。これは、統計力学を初めて厳密な数学的基礎の上に位置づけることになり、その後ハーバード大学のバーコフ（G. D. Birkhoff）がこの定理を発展させる礎となった[2]。これらによって統計力学の理論ははるかに強化された。

　1933年にアメリカのプリンストンに高等研究所（Institute for Advanced Study）が設立されて、フォン・ノイマンはアインシュタインなどとともにそこの教授に招聘された。フォン・ノイマンはマレ（F. J. Murray）と共同でヒルベルト空間の研究を拡充し、作用素論（operator theory）や作用素環（theory of rings of operators ）というそれまでほとんど未踏の分野を新たに開拓した[2]。この作用素という概念は物理学の分野では演算子と呼ばれており、量子物理学の研究で最も強力な道具となっている。彼が見つけた方程式群は「フォン・ノイマン環」と呼ばれている[4]。

　ところで、フォン・ノイマンは、この高等研究所で学位取得のための研究をしていたイギリスの数学者アラン・チューリング（Alan Turing）と知り合いになった。この出会いはノイマンに生物学やコンピュータ、人工知能への分野への興味をもたらした。その後アラン・チューリングは、イギリスでドイツの暗号装置エニグマの解読に成功し、第二次世界大戦の帰趨に大きな役割を果たした。しかし、彼は同性愛的な傾向を疑われたため、悲劇的な死を迎えたことで知られている。

（つづく）

[1] ヒルベルト空間, Wikipedia, https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93

[2]ノーマン・マクレイ、渡辺正、芦田みどり訳（1998）「フォン・ノイマンの生涯」、朝日選書

[3]John von Neumann (1903 - 1957), School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland, http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Von_Neumann.html
[4]John von Neumann (1903 - 1957), School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland, http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Von_Neumann.html

フォン・ノイマンについて（2） 育ちと性格

　フォン・ノイマンはユダヤ系のハンガリー人である。銀行家であった父親のマックスは、フォン・ノイマンが幼い頃から彼の兄弟とともに家庭で「セミナー」を開いていた。マックスはそこで家族めいめいがその日おもしろいと思ったテーマを発表させて討論させた。このさまざまな観点からの意見をぶつけ合う機会はフォン・ノイマンの成長にかけがえのない役割を果たした[1]。

　父親のマックスは、フォン・ノイマンのための高校にラテン語やギリシャ語をみっちり教えるブタペストのルーテル・ギムナジウムを選んだ。そこの校長はフォン・ノイマンの数学の才能をたちまち見抜き、高度な数学を学べるように取り計らった[1]。しかし校長は、フォン・ノイマンに数学だけに特化した教育を行ったわけではない。幅広い教養が必要と考えていた校長は、ほかの学科の教育にも十分に配慮した。ちなみに学校の1年先輩に、後に原爆開発に一緒に携わるノーベル賞物理学者ウィグナーがいた。

　また、フォン・ノイマンは歴史にも強い関心を持っており、ドイツの名高い歴史家ウイルヘルム・オンケンの「世界史」全44巻を隅々まで読んで、一部は年老いてもそらんじることができたという[1]。彼の歴史好きは一生続いた。彼が持つ歴史や一般教養の深い知識は、彼自身の人格や発想の幅を広げるのに不可欠の役割を果たしたことは間違いない。

  フォン・ノイマンの能力の特徴の一つは、頭の回転の速さと深い集中力であろう。彼は会話などによって何かアイデアのヒントを感じると、それを一足飛びにはるかかなたの新しい理論や実現可能なものに結びつける能力があった。彼のアイデアは単なる想像ではなく数理学的な裏付けを持ったものだった。そのため、その後彼自身や関係者がそれに沿って理論の肉付けを行って発展したもの、実現したものが数多くある。

　それが他の人から見ると、フォン・ノイマンは「誰かがひとつ提案をしようものならひっつかんであっという間に5ブロック先まで行ってしまう」とか、「彼の膨らんだ発想を理解するのに自転車で特急を追いかける気分だった」という感想となった[1]。オリジナリティというものとは少し異なるのかもしれないが、彼の発想がなければ発展しなかった理論や、実現するのにはるかに時間がかかったものも多かったのではないかと思われる。その価値はオリジナリティにひけをとらない。

　ところで、古今東西の天才的な学者で、自尊心を満たすために他人に対して攻撃的な人や、人付き合いが嫌いで内向的な人は枚挙にいとまがない。しかし、フォン・ノイマンは数理学的な解析に天才的な才能を持っていたにもかかわらず全く異なった。

　フォン・ノイマンは他人の尊厳に気を遣い、子供のころから言い争うことで他人を傷つけまいと固く心に決めていた[1]。おそらく理屈や頭の回転の速さでは彼は誰にも負けなかっただろう。しかし言い負かせば相手の尊厳は傷つくし、そのために相手の感情を損ねてしまうことも知っていた。人間は理屈だけでは動かない。彼は論争の先を見越していたとも言える。人生何が起こるかわからない。相手の感情を損ねれば、将来得られるかもしれない協力をも失ってしまうかもしれないというリスクを若い頃から熟知していた。

　それだけでなく、フォン・ノイマンは人なつっこさと快活さを生涯持ち続けた。人間の猜疑心や自尊心が作り上げる険悪な場の空気を、とっさの冗談で一瞬にして和ませ周囲を親密な雰囲気に変える名人だったらしい[1]。それもあって年を経るに連れて彼に好意的に協力する人々が増えていった。明晰な頭脳に加えて多くの人の協力を得られれば、鬼に金棒である。

　しかもフォン・ノイマンは科学だけでなく実務能力にも長けていた。沈滞した数多くの委員会やプロジェクトを活性化・機能化させ、大きな成果に結びつけた。そのため後に大統領直属の政府委員会の委員にもなった。彼は「人間」というものを熟知していたともいえるかもしれない。

　後の原爆開発プロジェクトでの爆縮レンズの研究、電子コンピュータや核戦争抑止のための戦略ミサイルの開発は、フォン・ノイマンが確固たる理念を持ち、築き上げた広い人脈によって様々な分野の多くの研究者の協力を仰いで、彼らをうまくまとめ上げたからこそできた。私は数理学的な解析の天才でありながら、このように人間的に豊かな魅力を併せ持った人を他に知らない。

（つづく）

[1]ノーマン・マクレイ、渡辺正、芦田みどり訳（1998）「フォン・ノイマンの生涯」、朝日選書

フォン・ノイマンについて（1）イントロダクション

　ジョン・フォン・ノイマン（John von Neumann, 1903-1957）は20世紀の天才である。彼は世界的に有名な科学者であり、さまざまな学問分野で第一級の業績を上げ、現在彼の業績をもとに発展している科学分野も多い。人類始まって以来の天才の一人と言えるのかもしれない。

　彼の業績の中で気象学への貢献は、彼の中ではわずかでしかないと思う。しかし、数値予報の歴史から見ると彼の業績は絶大である。現在の人々は、コンピュータを用いた数値予報という形で彼の恩恵を蒙っている。元気象庁長官である新田尚が気象学会誌で「コンピューター・サイドからの数値予報の歴史を明らかにすることも重要であることを特に強調しておきたい。」と述べている[1]が、本の「10-2　数値予報の試み」で触れているように、その黎明期はまさにフォン・ノイマンの独壇場であった。

　フォン・ノイマンの業績に触れた書は多いが、ある専門分野での業績に絞ったものが多く、彼の業績全体を網羅したものはそれほど多くないと思われる。その理由は、彼の業績の広さと深さにある。彼はいろいろな分野で最先端の業績を残した。それぞれの専門家が自分の専門分野での彼の業績を評価することは容易であろうが、あまりに幅広い分野での彼の奥深い業績を、あまねく評価できる人は多くないのではないか。

　そういう中でアメリカのノーマン・マクレイが書いた「フォン・ノイマンの生涯」（朝日選書、渡辺正、芦田みどり訳）は、フォン・ノイマンの業績を広く総括していると思う。これはマクレイが経済学を専門としたジャーナリストで、多くの人々に取材したからできたのだろうか？ここでは数回に分けて、この本を参考に他の文献なども合わせて、気象学だけでなくそれに影響を与えたと思われる彼の業績を広くまとめてみたい。

　まずフォン・ノイマンの業績の流れだけ記しておくと、彼は1920年代の純粋数学界に新風を吹きこんだあと、できたばかりの量子力学、理論物理学、応用物理学、意思決定理論、気象学、経済学にそれぞれの発展の方向性を決めるような大きな業績を残し、原子爆弾開発などの軍のプロジェクトにも参加し、また学問だけでなく第二次世界大戦後はアメリカ政府の核戦争抑止ための政策にも大きく関与した[2]。

　フォン・ノイマンが関わった学問分野としては、集合論、代数学、機能の理論、測度論、トポロジー、連続群、ヒルベルト空間論、作用素論、束論、連続幾何学、理論物理学、量子論、統計力学、流体力学、一次方程式と逆解行列、ゲーム理論、経済学、電子計算機の理論と動作、モンテカルロ法、ロボットの理論、確率理論、核エネルギーと核兵器の確立などがある[2]。彼には150編を超える論文がある。それらのうちの約60編は純粋数学（集合論、論理、位相群、測度論、エルゴード理論、作用素論と連続幾何学）に関して、約20編は物理学に関して、約60編は応用数学（統計、ゲームの理論とコンピュータ論を含む）に関するものである[3]。おそらくこれらのどれか一つの分野でも彼は一流の専門家として十分通用したであろう。そう考えると彼は鬼才だったとしか言いようがない。

　なお、1940年代に原子爆弾の開発に大きく貢献した4名のほぼ同年代のハンガリー人がいる。レオ・シラード（1898–1964）、ユージン・ウィグナー（1902-1995）、フォン・ノイマン（1903-1957）、エドワード・テラー（1908-2003）である。彼らは、19世紀末から20世紀初めにブダペストの同じ地区に生まれ、同じ学校に通ってアメリカで活躍した[4]。当時のハンガリーの教育システムが卓抜していたのだろうか？ノイマンはその一人でもある。また偶然かもしれないが、この時代はハンガリーがやはり世界的に有名になった同年代の指揮者を続々と輩出した（フリッツ・ライナー、ジョージ・セル、ユージン・オーマンディ、アンタル・ドラティ、ゲオルク・ショルティ、フェレンツ・フリッチャイ）ことでも知られている。

（つづく）

[1] 新田尚-2009-１ 数値予報の歴史―数値予報開始50周年を迎えて―, 天気, 56, 11, 894-900.

[2]Gass S. I. (2006) IFORS' Operational Research Hall of Fame: John von Neumann. International Transactions in Operations Research, 13 (1): 85-90.
[3] P. R. Halmos, (1973) The Legend of John Von Neumann, The American Mathematical Monthly, 80, 4, 382-394.
[4]ノーマン・マクレイ、渡辺正、芦田みどり訳（1998）「フォン・ノイマンの生涯」、朝日選書

これまでのタイトル（1~60)の整理

これまで書いたブログ（1~60）の目次を一度整理しておきます。
俯瞰してタイトルを見て、目的のブログにアクセスすることができます。

1 いまさら歴史？
2 数学者オイラー
3 地球環境の長期監視の重要性
4 科学と技術
5 学会と気象観測
6 「天気の子」と気象改変
7 大気力学でのソレノイド
8 前線のその後
9 歴史と新たな発想
10 ペリーとレッドフィールド
11 初めての風力計
12 嵐の構造についての発見
13 インターネットの発展と文献
14 ムンクの「叫び」とクラカタウ火山
15 ロバート・フックと気象観測
16 ケッペンについて１
17 ケッペンについて２
18 古代中国での気象学（1）初期の考え方
19 古代中国での気象学（2）天人相関思想
20 古代中国での気象学（3）気象観察
21 古代中国での気象学（4）二十四節気
22 リヒャルト・アスマン（その1）
23 リヒャルト・アスマン（その2）
24 テスラン・ド・ボール
25 高層気象観測の始まりと成層圏の発見（1） 概要
26 高層気象観測の始まりと成層圏の発見（2） 初期の気球観測 
27 高層気象観測の始まりと成層圏の発見（3） 本格的な観測の始まり
28 高層気象観測の始まりと成層圏の発見（4） 無人気球による観測の問題点
29 高層気象観測の始まりと成層圏の発見（5）初めての無人探測気球観測
30 高層気象観測の始まりと成層圏の発見（6） ドイツのアスマンによる観測
31 時代と民族を超えて気象の解明に尽力した人々の記録
32 高層気象観測の始まりと成層圏の発見（7） ヨーロッパでの組織的観測
33 高層気象観測の始まりと成層圏の発見（8） テスラン・ド・ボールによる発見
34 高層気象観測の始まりと成層圏の発見（9） ドイツのアスマンによる発見
35 高層気象観測の始まりと成層圏の発見（10） 成層圏存在の認知
36 高層気象観測の始まりと成層圏の発見（11）成層圏の存在と原因の広がり
37 高層気象観測の始まりと成層圏の発見（12）成層圏発見の意義
38 ウィリアム・ダインス（1）家系と彼の若い頃
39 ウィリアム・ダインス（2）テイ鉄道橋大惨事について
40 ウィリアム・ダインス（3）風速計の調査
41 ウィリアム・ダインス（4）新たな風速計の開発
42 ウィリアム・ダインス（5）高層気象学への貢献
43 ヨーロッパでの竜巻研究についての補記
44 気象観測と時刻体系
45 雪の観察
46 「気象学はこうして生まれ発展してきた」
47 気候学の歴史(1) 気候（気象）観測の始まり
48 気候学の歴史(2) 当初の気候観測と人間生活の関わり
49 気候学の歴史(3) 気候学研究の始まり
50 気候学の歴史(4) 気候統計とデータ処理
51 気候学の歴史(5) 気候データの保管
52 気候学の歴史(6)：気候学の変革
53 気候学の歴史(7)：気候モデルの登場
54 気候学の歴史(8)： 気候モデルと日本人研究者
55 気候学の歴史(9)： 気候モデルとコンピュータ
56 気候学の歴史(10)： モデル技術を用いた気候再解析
57 世界規模観測網（レゾー・モンディアル）と国際政治
58 気温測定の難しさ
59 気温のトレンド（長期変化傾向）把握のためのデータセットについて
60 フンボルトとコロンブス